在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一點O，有S△AOB∶S△AOC=BD∶CDS△AOB∶S△COB=AE∶CES△BOC∶S△AOC=BF∶AF因此圖類似燕尾而得名。是五大模型之一，是一個關(guān)于平面三角形的定理，俗稱燕尾定理。

證明

證法1

下面的是第一種方法：利用分比性質(zhì) - 若a÷b=c÷d，則（a-b）÷b=（c-d）÷d,b≠0，d≠0,）。

注：∵（a-b÷b=a÷b-b÷b=a÷b-1， - c-d÷d=c÷d-d÷d=c÷d-1，a/b=c/d。

∴（a-b）÷b=（c-d）÷d。

∵△ABD與△ACD同高。

∴S△ABD：S△ACD=BD：CD。

同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD。

利用分比性質(zhì)，得。

S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD。

即S△AOB：S△AOC=BD：CD。

命題得證。（由此可得：若X：Y=a：b，X1：Y1=a：b；則（X±X1）：（Y±Y1）=a：b.其中Y、Y1≠0,Y≠Y1且Y-≠Y1）。

證法2

下面的是第二種方法：相似三角形法。

已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點O，連接并延長BO，交AC于點E。

求證：AE=CE證明：

過點O作MN∥BC,，交AB于點M，AC于點N；

過點O作PQ∥AB，交BC于點P，交AC于點Q。

∵MN∥BC。

∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD。

∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD。

∴MO：BD=NO：CD。

∵AD是△ABC的一條中線。

∴BD=CD。

∴MO=NO。

∵PQ∥AB。

∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF。

∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF。

∴PO：BF=QO：AF。

∵CF是△ABC的一條中線。

∴AF=BF。

∴PO=QO。

∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO。

∴△MOP≌△NOQ - SAS。

∴∠MPO=∠NQO。

∴MP∥AC（內(nèi)錯角相等，兩條直線平行）。

∴△BMR∽△BAE（R為MP與BO的交點），△BPR∽△BCE。

∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE。

∴MR：AE=PR：CE。

∵MN∥BC，PQ∥AB。

∴四邊形BMOP是平行四邊形。

∴MR=PR（平行四邊形的對角線互相平分）。

∴AE=CE。

命題得證。

推廣

四邊形ABCD（不一定是凸四邊形），設(shè)AC,BD相交于E則有BE：DE=S△ABC：S△ADC。

證明：∵S△ABC=S△ABE+S△BEC。

S△ADC=S△AED+S△CED。

又∵S△ABE：S△AED=S△BEC：S△CED=BE：ED（∵高相等）。

∴S△ABE+S△BEC：S△AED+S△CED=S△ABC：S△ADC=BE:ED。

此定理是面積法最重要的定理之一。