集合，是近現代數學最基本的內容之一。集合概念及其理論，成為集合論，是近現代數學的一個重要基礎。最簡單的說法，即是在最原始的集合論樸素集合論中的定義，集合就是“一堆東西”。集合里的“東西”，叫作元素。一方面，許多重要的數學分支，都建立在集合論的基礎上，另一方面，集合論及其所反映的數學思想在越來越廣泛的領域中得到應用。由一個或多個元素所構成的叫做集合。集合中的元素有三個特征：確定性（集合中的元素必須是確定的），互異性（集合中的元素互不相同），無序性（集合中的元素沒有先后之分）。

概念

集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象匯總成的集體，這些對象稱為該集合的元素。例如全中國人的集合，它的元素就是每一個中國人。我們通常用大寫字母如A,B,S,T,…表示集合，而用小寫字母如a,b,x,y,…表示集合的元素。

若x是集合S的元素，則稱x屬于S，記為x∈S。若y不是集合S的元素，則稱y不屬于S,記為y?S。一般的我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集。

分類

基數

集合A中不同元素的數目稱為集合A的基數，記作card - A。當其為有限大時，集合A稱為有限集，反之則為無限集。

空集

有一類特殊的集合，它不包含任何元素，如，我們稱之為空集，記為?。

子集

設S,T是兩個集合，如果S的所有元素都屬于T，即，

其中符號稱為蘊含，即表示由左邊的命題可以推出右邊的命題，則稱S是T的子集，記為。顯然，對任何集合S，都有。

如果S是T的一個子集，即，但在T中存在一個元素x不屬于S，即，則稱S是T的一個真子集。

相等

如果兩個集合S和T的元素完全相同，則稱S與T兩個集合相等，記為S=T。顯然我們有

其中符號稱為當且僅當，表示左邊的命題與右邊的命題相互蘊含，即兩個命題等價。

并交集

并集定義：由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，記作A∪B（或B∪A），讀作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。并集越并越多。

交集定義：由屬于A且屬于B的相同元素組成的集合，記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。交集越交越少。

若A包含B，則A∩B=B，A∪B=A

補集

相對補集定義：由屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱為B關于A的相對補集，記作A-B或A//B，即A-B={x|x∈A，且x?B'}

絕對補集定義：A關于全集合U的相對補集稱作A的絕對補集，記作A'或?u（A）或~A?！'=Φ；Φ‘=U

冪集

定義：設有集合A，由集合A所有子集組成的集合，稱為集合A的冪集。

定理：有限集A的冪集的基數等于2的有限集A的基數次冪。

區(qū)間

數學分析中，最常遇到的實數集的子集是區(qū)間。

設a,b - a<b是兩個相異的實數，則滿足不等式a<x<b的所有實數x的集合稱為以a,b為端點的開區(qū)間，記為；滿足不等式的所有實數的集合稱為以a,b為端點的閉區(qū)間，記為；滿足不等式或的所有實數x的集合稱為以a,b為端點的半開半閉區(qū)間，分別記為及。

表示符號

常見的集合的表示符號：

N：非負整數集合或自然數集合{0,1,2,3,……}

N*或N+：正整數集合{1,2,3,……}

Z：整數集合{……,-1,0,1,……}

P：素數集合

Q：有理數集合

Q+：正有理數集合

Q-：負有理數集合

R：實數集合

R+：正實數集合

R-：負實數集合

C：復數集合

Φ：空集合（不含有任何元素的集合稱為空集合）

U：全集合（包含了某一問題中所討論的所有集合）

表示法

表示集合的方法通常有三種。

列舉法

列舉法就是將集合的元素逐一列舉出來的方式。例如，光學中的三原色可以用集合{紅，綠，藍}表示；由四個字母a,b,c,d組成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。

列舉法還包括盡管集合的元素無法一一列舉，但可以將它們的變化規(guī)律表示出來的情況。如正整數集和整數集可以分別表示為和。

描述法

{代表元素|滿足的性質}

設集合S是由具有某種性質P的元素全體所構成的，則可以采用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合：S={x|P - x}

例如，由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x2=2}。

而有理數集和正實數集則可以分別表示為和。

符號法

N：非負整數集合或自然數集合{0,1,2,3,…}

N*或N+：正整數集合{1,2,3,…}

Z：整數集合{…,-1,0,1,…}

Q：有理數集合

Q+：正有理數集合

Q-：負有理數集合

R：實數集合 - 包括有理數和無理數）

R+：正實數集合

R-：負實數集合

C：復數集合

?：空集合（不含有任何元素的集合稱為空集合，又叫空集）

特性

確定性

給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬于或者不屬于該集合，二者必居其一，不允許有模棱兩可的情況出現。

互異性

一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。

無序性

一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關系，定義了序關系后，元素之間就可以按照序關系排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。（參見序理論）

運算律

交換律：A∩B=B∩AA∪B=B∪A

結合律：A∪ - B∪C= - A∪B∪CA∩ - B∩C= - A∩B∩C

分配對偶律：A∩ - B∪C= - A∩B∪ - A∩CA∪ - B∩C= - A∪B∩ - A∪C

對偶律： - A∪B^C=A^C∩B^C - A∩B^C=A^C∪B^C

同一律：A∪?=AA∩U=A

求補律：A∪A'=UA∩A'=?

對合律：A''=A

等冪律：A∪A=AA∩A=A

零一律：A∪U=UA∩U=A

吸收律：A∪ - A∩B=AA∩ - A∪B=A

德·摩根律（反演律）： - A∪B'=A'∩B' - A∩B'=A'∪B'

德·摩根律：1.集合A與集合B的交集的補集等于集合A的補集與集合B的補集的并集;2.集合A與集合B的并集的補集等于集合A的補集與集合B的補集的交集。

容斥原理（特殊情況）：

card - A∪B=card - A+card - B-card - A∩B

card - A∪B∪C=card - A+card - B+card - C-card - A∩B-card - B∩C-card - C∩A+card - A∩B∩C

地位

集合在數學領域具有無可比擬的特殊重要性。集合論的基礎是由德國數學家康托爾在19世紀70年代奠定的，經過一大批卓越的科學家半個世紀的努力，到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位，可以說，現代數學各個分支的幾乎所有成果都構筑在嚴格的集合理論上。

模糊集

用來表達模糊性概念的集合，又稱模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某種屬性的對象的全體。這種屬性所表達的概念應該是清晰的，界限分明的。

因此每個對象對于集合的隸屬關系也是明確的，非此即彼。但在人們的思維中還有著許多模糊的概念，例如年輕、很大、暖和、傍晚等，這些概念所描述的對象屬性不能簡單地用“是”或“否”來回答，模糊集合就是指具有某個模糊概念所描述的屬性的對象的全體。

由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而對象對集合的隸屬關系也不是明確的、非此即彼的。這一概念是美國加利福尼亞大學控制論專家L.A.扎德于1965年首先提出的。

模糊集合這一概念的出現使得數學的思維和方法可以用于處理模糊性現象，從而構成了模糊集合論（中國通常稱為模糊性數學的基礎。

基本性質

作為集合間的二元運算，△運算具有如下基本性質：

交換律：A△B=B△A；

結合律： - A△B△C=A△ - B△C；

幺元：?集合A，A△//varnothing=A；（//varnothing是△運算的幺元）。

逆元：A△A=//varnothing；