初等數(shù)論是研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)論的一個最古老的分支。它以算術(shù)方法為主要研究方法，主要內(nèi)容有整數(shù)的整除理論、同余理論、連分?jǐn)?shù)理論和某些特殊不定方程。?換言之，初等數(shù)論就是用初等、樸素的方法去研究數(shù)論。另外還有解析數(shù)論（用解析的方法研究數(shù)論）、代數(shù)數(shù)論（用代數(shù)結(jié)構(gòu)的方法研究數(shù)論）。

初等數(shù)論有幾部分內(nèi)容：整除理論，同余理論，連分?jǐn)?shù)理論，不定方程，數(shù)論函數(shù)和高斯函數(shù)。

歷史發(fā)展

古希臘

古希臘畢達(dá)哥拉斯是初等數(shù)論的先驅(qū)。他與他的學(xué)派致力于一些特殊整數(shù)（如親和數(shù)、完全數(shù)、多邊形數(shù)）及特殊不定方程的研究。公元前4世紀(jì)，歐幾里德的《幾何原本》通過102個命題，初步建立了整數(shù)的整除理論。他關(guān)于“素?cái)?shù)有無窮多個”的證明，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)證明的典范。

初等數(shù)論已經(jīng)有2000年的歷史，公元前300年，歐幾里得發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)是數(shù)論的基石，他自己證明了有無窮多個素?cái)?shù)。公元前250年古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼發(fā)明了一種篩法。2000年來，數(shù)論學(xué)的一個最重要的任務(wù)，就是尋找一個可以表示所有素?cái)?shù)的統(tǒng)一公式，或者稱為素?cái)?shù)普遍公式，為此，人類耗費(fèi)了巨大的心血。后來發(fā)現(xiàn)埃拉托塞尼篩法可以轉(zhuǎn)換成為一個素?cái)?shù)產(chǎn)生的公式：

公元前250年同樣是古希臘的數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼提出一種篩法：

（一）“要得到不大于某個自然數(shù)n（不等于0）的所有素?cái)?shù)，只要在2至n中將不大于?的素?cái)?shù)的倍數(shù)全部劃去即可”。

（二）將上面的內(nèi)容等價轉(zhuǎn)換：“如果n是合數(shù)（非0自然數(shù)），則它有一個因子d滿足?”。

（三）再從（二）得到等價的逆否命題：“若自然數(shù)n不能被不大于的任何素?cái)?shù)整除，則n是一個素?cái)?shù)”。

（四）上述的（三）可以用符號如此表達(dá)：

N=p1m1+a1=p2m2+a2=……=pkmk+ak?（1）

- 1

其中p1，p2，…..，pk順序地表示素?cái)?shù)2，3，5，…。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，…，pkm+0形。若?，則N是一個素?cái)?shù)。

（五）可以把上述的式（1）用同余式組表示：

N≡a1 - modp1），?N≡a2 - modp2），…..，N≡ak - modpk）（2）

- 2

例如，29不能夠被以下的任何素?cái)?shù)2，3，5整除，29=2×14+1=3×9+2=5×5+4。

29≡1 - mod2，29≡2 - mod3，?29≡4 - mod5。29小于72=49?，所以29是一個素?cái)?shù)。

由于（2）的模?p1，p2，….，pk兩兩互素，根據(jù)孫子定理（中國剩余定理）知，（2）式在p1，p2，…..，pk范圍內(nèi)有唯一解。

例如k=1時?，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，32）區(qū)間的全部素?cái)?shù)。

k=2時，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。如此，求得了（5，52?）區(qū)間的全部素?cái)?shù)。

仿此下去可以求得任意給定數(shù)以內(nèi)的全部素?cái)?shù)。

- 六用程序方法求素?cái)?shù)?！叭粢粋€自然數(shù)n，判斷n/k是否整除，先判斷其能否整除2，若不能再判斷其能否整除3，依次向下判斷，當(dāng)k> - n/k時，判斷結(jié)束?！比绻信袛喽疾荒苷?，則自然數(shù)N為素?cái)?shù)。

公元3世紀(jì)，丟番圖研究了若干不定方程，并分別設(shè)計(jì)巧妙解法，故后人稱不定方程為丟番圖方程。17世紀(jì)以來，費(fèi)馬、歐拉、高斯等人的工作大大豐富和發(fā)展了初等數(shù)論的內(nèi)容。

古代中國

中國古代對初等數(shù)論的研究有著光輝的成就，《周髀算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《數(shù)書九章》等古文獻(xiàn)上都有記載。孫子定理比歐洲早500年，?西方常稱此定理為中國剩余定理，秦九韶的大衍求一術(shù)也馳名世界。初等數(shù)論不僅是研究純數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是許多學(xué)科的重要工具。它的應(yīng)用是多方面的，如計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、信息論等。如公開密鑰體制的提出是數(shù)論在密碼學(xué)中的重要應(yīng)用。

初等數(shù)論

初等數(shù)論有以下幾部分內(nèi)容：

1.整除理論。引入整除、因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)等基本概念。這一理論的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、歐幾里德的輾轉(zhuǎn)相除法、算術(shù)基本定理、素?cái)?shù)個數(shù)無限證明。

2.同余理論。主要出自于高斯的《算術(shù)研究》內(nèi)容。定義了同余、原根、指數(shù)、平方剩余、同余方程等概念。主要成果：二次互反律、歐拉定理、費(fèi)馬小定理、威爾遜定理、孫子定理（即中國剩余定理）等等。

3.連分?jǐn)?shù)理論。引入了連分?jǐn)?shù)概念和算法等等。特別是研究了整數(shù)平方根的連分?jǐn)?shù)展開。主要成果：循環(huán)連分?jǐn)?shù)展開、最佳逼近問題、佩爾方程求解。

4.不定方程。主要研究了低次代數(shù)曲線對應(yīng)的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分?jǐn)?shù)求解。也包括了四次費(fèi)馬方程的求解問題等等。

5.數(shù)論函數(shù)。比如歐拉函數(shù)、莫比烏斯變換等等。

6.高斯函數(shù)。

初等數(shù)論是一個理論層次

第一個層次叫做數(shù)學(xué)概念，是反映對象的本質(zhì)屬性的思維形式。人類在認(rèn)識過程中，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，把所感知的事物的共同本質(zhì)特點(diǎn)抽象出來，加以概括，就成為概念。表達(dá)概念的語言形式是詞或詞組?？茖W(xué)概念，特別是數(shù)學(xué)概念要求更加嚴(yán)格，至少必須具備三個條件：專一性，精確性，可以檢驗(yàn)。例如：”孿生素?cái)?shù)“就是一個數(shù)學(xué)概念。

第二個層次叫做數(shù)學(xué)命題，數(shù)學(xué)命題是對一系列數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系作出判斷的句子。一個命題要么真，要么不真（這由邏輯中的排中律保證）。真命題包含定理，引理，推論，事實(shí)等。命題既可以是存在性命題（表述為”存在……."），也可以是全稱命題（表述為“對于一切….."）。

第三個層次叫做數(shù)學(xué)理論，把方法，公式，公理，定理，原理，組合成為一個體系叫做數(shù)學(xué)理論。例如“初等數(shù)論”，由公理（例如等量公理），定理（例如費(fèi)馬小定理），原理（例如抽屜原理，一一對應(yīng)原理），公式等組成。

在數(shù)學(xué)證明時，全稱命題常常不能通過枚舉法來判斷真?zhèn)?，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)有時面對的是無窮多個對象，永遠(yuǎn)不可能一一枚舉出每一種情況。不完全歸納法在數(shù)學(xué)中是不可行的，數(shù)學(xué)只承認(rèn)演繹邏輯（數(shù)學(xué)歸納法，超限歸納法等均屬于演繹邏輯）。

代表人物

費(fèi)馬

費(fèi)馬在古典數(shù)論領(lǐng)域中的成果很多，比如提出了不定方程無解證明的無窮遞降法，引入了費(fèi)馬數(shù)等等。

與費(fèi)馬相關(guān)的著名結(jié)論如下：

費(fèi)馬小定理：a^p-a≡0 - mod?p，其中p是一個素?cái)?shù)，a是正整數(shù)。

事實(shí)上它是歐拉定理的一個特殊情況，Euler定理是說：a^φ - n-1≡0 - mod?n,a，n都是正整數(shù)且互素，φ - n是Euler函數(shù)，表示和n互素的小于n的正整數(shù)的個數(shù)。

費(fèi)馬大定理（當(dāng)時是猜想）：n>2是整數(shù)，則方程x^n+y^n=z^n沒有滿足xyz≠0的整數(shù)解。這個是不定方程，它已經(jīng)由英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯證明了 - 1995年，證明的過程相當(dāng)艱深。

歐拉

引入歐拉函數(shù)，得到著名的歐拉定理——費(fèi)馬小定理推廣；研究了連分?jǐn)?shù)展開問題；用解析方法證明了素?cái)?shù)無限；討論平方和問題及哥德巴赫猜想——加性數(shù)論內(nèi)容。

高斯

被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。解決了正多邊形尺規(guī)作圖問題，將它和費(fèi)馬數(shù)聯(lián)系起來。高斯的著作《算術(shù)研究》提出了同余理論，討論了平方剩余問題，發(fā)現(xiàn)了二次互反律。高斯提出了著名的素?cái)?shù)定理（當(dāng)時是猜想），研究了指標(biāo)和估計(jì)問題——表示論的雛形。