平行線等分線段定理 - 數(shù)學(xué)定理
中位線是在三角形或梯形中一條特殊的線段,與其所在的三角形或梯形有著特殊的關(guān)系。連接三角形的兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。三角形有三條中位線,首尾相接時(shí),每個(gè)小三角形面積都等于原三角形的四分之一,這四個(gè)三角形都互相全等。平行線等分線段定理是把一條線段任意等分的重要依據(jù)。

定理內(nèi)容
如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等,經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且與另一邊平行的直線必平分第三邊經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)且與底邊平行的直線必平分另一腰,第二條定理也做:三角形過一邊中點(diǎn)的直線平行第二邊平分第三邊。也稱“一二三定理”。第二第三條即常說的“中位線定理”。
證明過程
證明如下:
已知:AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于點(diǎn)G,J,H,K,I,L.(如右圖
求證:GH:HI=JK:KL
證明:
過點(diǎn)K作G'I'∥GI交AB,CD,EF于點(diǎn)G',H'I'.
∵AB∥CD∥EF,G'I'∥GI
∴四邊形GHKG',HII'H‘,GII'G是平行四邊形(平行四邊形判定定理),∠BJK=∠KLI,∠JG'I'=∠G'I'F(內(nèi)錯(cuò)角相等)
∴△JG'K∽△I'LK,(相似三角形判定),GH=G'H',HI=H'I'(平行四邊形對(duì)邊相等)
∵G'H':H'I'=JK:KL - 相似三角形性質(zhì))
∴GH:HI=JK:KL(等量代換)
推論1:過三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊
推論2:過梯形一腰中點(diǎn)且平行于底邊的直線必過另一腰中點(diǎn)
