整數(shù)（Integer）：像-2，-1，0，1，2這樣的數(shù)稱為整數(shù)。德語中的整數(shù)叫做Zahlen。（整數(shù)是表示物體個數(shù)的數(shù)，0表示有0個物體）整數(shù)是人類能夠掌握的最基本的數(shù)學(xué)工具。整數(shù)的全體構(gòu)成整數(shù)集，整數(shù)集合是一個數(shù)環(huán)。在整數(shù)系中，自然數(shù)為0和正整數(shù)的統(tǒng)稱，稱0為零，稱-1、-2、-3、…、-n、…（n為整數(shù)）為負(fù)整數(shù)。正整數(shù)、零與負(fù)整數(shù)構(gòu)成整數(shù)系。一個給定的整數(shù)n可以是負(fù)數(shù)（n∈Z-），非負(fù)數(shù)（n∈Z*），零（n=0）或正數(shù)（n∈Z+）。如果不加特殊說明，我們所涉及的數(shù)都是整數(shù)，所采用的字母也表示整數(shù)。

關(guān)于整數(shù)集

為什么用Z表示整數(shù)集呢？這個涉及到一個德國女?dāng)?shù)學(xué)家對環(huán)理論的貢獻(xiàn)，她叫諾特。

1920年，她已引入“左?！?，“右模”的概念。1921年寫出的《整環(huán)的理想理論》是交換代數(shù)發(fā)展的里程碑。其中，諾特在引入整數(shù)環(huán)概念的時候（整數(shù)集本身也是一個數(shù)環(huán)），她是德國人，德語中的整數(shù)叫做Zahlen，于是當(dāng)時她將整數(shù)環(huán)記作Z，從那時候起整數(shù)集就用Z表示了。

數(shù)學(xué)分類

整數(shù)的分類

我們以0為界限，將整數(shù)分為三大類

1.正整數(shù)，即大于0的整數(shù)如，1，2，3······直到n。

2.既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)，它是介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的數(shù)。

3.負(fù)整數(shù)，即小于0的整數(shù)如，-1，-2，-3······直到-n。

正整數(shù)

它是從古代以來人類計(jì)數(shù)的工具?？梢哉f，從“一頭牛，兩頭?！被蚴恰拔鍌€人，六個人”抽象化成正整數(shù)的過程是相當(dāng)自然的。

正整數(shù)也可分成奇數(shù)和偶數(shù)兩類

零

不僅表示“沒有”（“無”），更是表示空位的符號。中國古代用算籌計(jì)算數(shù)并進(jìn)行運(yùn)算時，空位不放算籌，雖無空位記號，但仍能為位值記數(shù)與四則運(yùn)算創(chuàng)造良好的條件。印度-阿拉伯命數(shù)法中的零 - Zero來自印度的 - Sunya字，其原意也是“空”或“空白”。

奇數(shù)

在整數(shù)中，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。日常生活中，人們通常把奇數(shù)叫做單數(shù)，它跟偶數(shù)是相對的。

偶數(shù)

整數(shù)中，能夠被2整除的數(shù)，叫做偶數(shù)，又稱雙數(shù)。

偶數(shù)包括正偶數(shù)、負(fù)偶數(shù)和0。

所有整數(shù)不是奇數(shù)（又稱單數(shù)），就是偶數(shù)。當(dāng)n是整數(shù)時，偶數(shù)可表示為2n（n為整數(shù)）；奇數(shù)則可表示為2n+1（或2n-1）。在十進(jìn)制里，我們可用看個位數(shù)的方式判斷該數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)：個位為1,3,5,7,9的數(shù)為奇數(shù)；個位為0,2,4,6,8的數(shù)為偶數(shù)。

備注：現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教材中規(guī)定：零和正整數(shù)為自然數(shù)。

性質(zhì)應(yīng)用

如果不加特殊說明，我們所涉及的數(shù)都是整數(shù)，所采用的字母也表示整數(shù)。

定義

設(shè)a,b是給定的數(shù)，b≠0，若存在整數(shù)c，使得a=bc,則稱b整除a，記作b|a，并稱b是a的一個約數(shù) - 因子，稱a是b的一個倍數(shù)，如果不存在上述c，則稱b不能整除a。

整數(shù)整除性的一些數(shù)碼特征（即常見結(jié)論）

1與0的特性

1是任何整數(shù)的約數(shù)，即對于任何整數(shù)a，總有1|a。

0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，a≠0,a為整數(shù)，則a|0。

整除特征

（1）若一個整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個數(shù)能被2整除。

（2）若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個整數(shù)能被3整除。

（3）若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。

（4）若一個整數(shù)的末位是0或5，則這個數(shù)能被5整除。

（5）若一個整數(shù)能被2和3整除，則這個數(shù)能被6整除。

（6）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13－3×2=7，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613－9×2=595，59－5×2=49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。

（7）若一個整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除。

（8）若一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。

（9）若一個整數(shù)的末位是0，則這個數(shù)能被10整除。

（10）若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的「割尾法」處理。過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1。

（11）若一個整數(shù)能被3和4整除，則這個數(shù)能被12整除。

（12）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（13）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（14）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（15）若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17整除。

（16）若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被19整除。

（17）若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23 - 或29整除，則這個數(shù)能被23整除

奇偶性

1、奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)；即任意多個偶數(shù)的和、差、積仍為偶數(shù)；

2、奇數(shù)的平方都可以表示成 - 8m+1的形式，偶數(shù)的平方可以表示為8m或（8m+4的形式；

3、若有限個整數(shù)之積為奇數(shù)，則其中每個整數(shù)都是奇數(shù)；若有限個整數(shù)之積為偶數(shù)，則這些整數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；兩個整數(shù)的和與差具有相同的奇偶性；偶數(shù)的平方根若是整數(shù)，它必偶數(shù)。