歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式。其中最著名的有，復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式–將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來。拓撲學(xué)中的歐拉多面體公式。初等數(shù)論中的歐拉函數(shù)公式。

歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式。歐拉公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律，只適用于簡單多面體。常用的歐拉公式有復(fù)數(shù)函數(shù)e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr，物理學(xué)公式F=fe^ka等。

基本介紹

在數(shù)學(xué)歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）發(fā)現(xiàn)的，它們都叫做歐拉公式，分散在各個數(shù)學(xué)分支之中。

公式介紹

復(fù)變函數(shù)

e^ix=cosx+isinx，e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。

e^ix=cosx+isinx的證明：

因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……

cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……

sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……

在e^x的展開式中把x換成±ix.

- ±i^2=-1, - ±i^3=?i, - ±i^4=1 ……

e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?ix^3/3!+x^4/4!……

= - 1-x^2/2!+……±i - x-x^3/3!……

所以e^±ix=cosx±isinx

將公式里的x換成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：

sinx= - e^ix-e^-ix/ - 2i，cosx= - e^ix+e^-ix/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：

e^iπ+1=0.這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率π，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0。數(shù)學(xué)家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”

那么這個公式的證明就很簡單了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。那么這里的π就是x，那么

e^iπ=cosπ+isinπ

=-1

那么e^iπ+1=0

這個公式實際上是前面公式的一個應(yīng)用。

分式

分式里的歐拉公式：

a＾r(nóng)/ - a-b - a-c+b＾r(nóng)/ - b-c - b-a+c＾r(nóng)/ - c-a - c-b

當r=0,1時式子的值為0

當r=2時值為1

當r=3時值為a+b+c

三角公式

三角形中的歐拉公式：

設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則：

d＾2=R＾2-2Rr

拓撲學(xué)說

拓撲學(xué)里的歐拉公式：

V+F-E=X - P，V是多面體P的頂點個數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X - P是多面體P的歐拉示性數(shù)。

如果P可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那么X - P=2，如果P同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么X - P=2-2h。

X - P叫做P的歐拉示性數(shù)，是拓撲不變量，就是無論再怎么經(jīng)過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學(xué)研究的范圍。

初等數(shù)論

歐拉φ函數(shù)：φ - n是所有小于n的正整數(shù)里，和n互素的整數(shù)的個數(shù)。n是一個正整數(shù)。

歐拉證明了下面這個式子：

如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj - j=1,2,……,m都是素數(shù)，而且兩兩不等。則有

φ - n=n - 1-1/p1 - 1-1/p2…… - 1-1/pm

利用容斥原理可以證明它。

物理學(xué)

眾所周知，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數(shù)之間的關(guān)系?，F(xiàn)將歐拉這個頗有價值的公式列在這里：

F=fe^ka

其中，f表示我們施加的力，F(xiàn)表示與其對抗的力，e為自然對數(shù)的底，k表示繩與樁之間的摩擦系數(shù)，a表示纏繞轉(zhuǎn)角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。

此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。

平面幾何

設(shè)△ABC的外心為O，內(nèi)心為I，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，又記外心、內(nèi)心的距離OI為d，則有

（1）式稱為歐拉公式.

為了證明（1）式，我們現(xiàn)將它改成

（2）式左邊是點I對于⊙O的冪：過圓內(nèi)任一點P的弦被P分成兩個部分，這兩個部分的乘積是一個定值，稱為P關(guān)于⊙O的冪。事實上，如圖3.21，如果將OI延長交圓于E、F，那么

因此，設(shè)AI交⊙O于M，則

因此，只需證明

或?qū)懗杀壤?/p>

為了證明（5）式，應(yīng)當尋找兩個相似的三角形。一個以長IA、r為邊；另一個以長2R、MI為邊。前一個不難找，圖3.21中的△IDA就是，D是內(nèi)切圓與AC的切點。后一個也必須是直角三角形，所以一邊是直徑ML，另一個頂點也應(yīng)當在圓上?！鱉BL就滿足要求。

容易證明

因此（5）式成立，從而（1）式成立。

因為

，所以由歐拉公式得出一個副產(chǎn)品，即

拓撲學(xué)

空間中的歐拉公式

v+f-e=x - p，v是多面體p的頂點個數(shù)，f是多面體p的面數(shù)，e是多面體p的棱的條數(shù),x - p是多面體p的歐拉示性數(shù)。 如果p可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那么x - p=2，如果p同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么x - p=2-2h。 x - p叫做p的歐拉示性數(shù)，是拓撲不變量，就是無論再怎么經(jīng)過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學(xué)研究的范圍。

在多面體中的運用：

簡單多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系

這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。

平面上的歐拉公式

其中V是圖形P的頂點個數(shù)，F(xiàn)是圖形P內(nèi)的區(qū)域數(shù)，E是圖形的邊數(shù)。

在非簡單多面體中，歐位公式的形式為：

其中H指的是平面上不完整的個數(shù)，而C指的是獨立的多面體的個數(shù)，G指的是多面體被貫穿的個數(shù)。

證明

（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。

（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設(shè)F′，E′和V′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數(shù)，我們只須證明F′-E′+V′=1。

（3）對于這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F(xiàn)′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時候，F(xiàn)′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。

（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。

（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。

（6）這樣繼續(xù)進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。

（8）如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。

統(tǒng)計學(xué)

特征函數(shù)用歐拉公式：隨機變量X的特征函數(shù)定義為