形如y'+P - xy=Q - x的微分方程稱為一階線性微分方程，Q - x稱為自由項。

當Q - x≡0時，方程為y'+P - xy=0，這時稱方程為一階齊次線性微分方程。 - 因為y'是關于y及其各階導數(shù)的1次的，P - xy是一次項，它們同時又是關于x及其各階導數(shù)的0次項，所以為齊次。

形如y'+P - xy=Q - x的微分方程稱為一階線性微分方程，Q - x稱為自由項。一階，指的是方程中關于Y的導數(shù)是一階導數(shù)。線性，指的是方程簡化后的每一項關于y、y'的指數(shù)為1。

定義

形如（記為式1）的方程稱為一階線性微分方程。其特點是它關于未知函數(shù)y及其一階導數(shù)是一次方程。這里假設，是x的連續(xù)函數(shù)。

若，式1變?yōu)椋ㄓ洖槭?）稱為一階齊次線性方程。

如果不恒為0，式1稱為一階非齊次線性方程，式2也稱為對應于式1的齊次線性方程。

式2是變量分離方程，它的通解為，這里C是任意常數(shù)。

解法

一階線性微分方程的求解一般采用常數(shù)變易法，通過常數(shù)變易法，可求出一階線性微分方程的通解。

一階齊次線性微分方程

對于一階齊次線性微分方程:

其通解形式為:

其中C為常數(shù)，由函數(shù)的初始條件決定

一階非齊次線性微分方程

對于一階非齊次線性微分方程:

其對應齊次方程:

解為:

令C=u - x，得:

帶入原方程得:

對u' - x積分得u - x并帶入得其通解形式為:

其中C為常數(shù)，由函數(shù)的初始條件決定。

注意到，上式右端第一項是對應的齊次線性方程式（式2）的通解，第二項是非齊次線性方程式（式1）的一個特解。由此可知，一階非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和。