傅里葉級數(shù) - 數(shù)學術語
法國數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn),任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構成的無窮級數(shù)來表示(選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的),后世稱傅里葉級數(shù)為一種特殊的三角級數(shù),根據(jù)歐拉公式,三角函數(shù)又能化成指數(shù)形式,也稱傅立葉級數(shù)為一種指數(shù)級數(shù)。
來源
法國數(shù)學家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國,程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)。他首先證明
多元三角級數(shù)球形和的唯一性定理,并揭示了多元傅里葉級數(shù)的里斯-博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數(shù)曾極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學物理以及工程中都具有重要的應用。
性質
收斂性
傅里葉級數(shù)的收斂性:滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下:
在任何周期內,x - t須絕對可積;
在任一有限區(qū)間中,
x - t只能取有限個最大值或最小值;
在任何有限區(qū)間上,
x - t只能有有限個第一類間斷點。
吉布斯現(xiàn)象:在x - t的不可導點上,
如果我們只取式右邊的無窮級數(shù)中的有限項作和x - t,
那么x - t在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號
正交性
所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0,這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性。
例如,在三維歐氏空間中,互相垂直的向量之間是正交的。事實上,正交是垂直在數(shù)學上的的一種抽象化和一般化。
一組n個互相正交的向量必然是線形無關的,所以必然可以張成一個n維空間,也就是說,空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。
