合數(shù)是指在大于1的整數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(shù)（0除外）整除的數(shù)。與之相對(duì)的是質(zhì)數(shù)，而1既不屬于質(zhì)數(shù)也不屬于合數(shù)。最小的合數(shù)是4。其中，完全數(shù)與相親數(shù)是以它為基礎(chǔ)的。

定義

合數(shù)指自然數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(shù)（0除外）整除的數(shù)。

性質(zhì)

所有大于2的偶數(shù)都是合數(shù)。

所有大于5的奇數(shù)中，個(gè)位為5的都是合數(shù)。

除0以外，所有個(gè)位為0的自然數(shù)都是合數(shù)。

所有個(gè)位為4，6，8的自然數(shù)都是合數(shù)。

最小的（偶）合數(shù)為4，最小的奇合數(shù)為9。

每一個(gè)合數(shù)都可以以唯一形式被寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的乘積，即分解質(zhì)因數(shù)。 - 算術(shù)基本定理

對(duì)任一大于5的合數(shù) - 威爾遜定理:

類(lèi)型

合數(shù)的一種方法為計(jì)算其質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)。一個(gè)有兩個(gè)質(zhì)因數(shù)的合數(shù)稱(chēng)為半質(zhì)數(shù)，有三個(gè)質(zhì)因數(shù)的合數(shù)則稱(chēng)為楔形數(shù)。在一些的應(yīng)用中，亦可以將合數(shù)分為有奇數(shù)的質(zhì)因數(shù)的合數(shù)及有偶數(shù)的質(zhì)因數(shù)的合數(shù)。對(duì)于后者，（其中μ為默比烏斯函數(shù)且''x''為質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)的一半），而前者則為

注意，對(duì)于質(zhì)數(shù)，此函數(shù)會(huì)傳回?-1，且。而對(duì)于有一個(gè)或多個(gè)重復(fù)質(zhì)因數(shù)的數(shù)字''n''，。

另一種分類(lèi)合數(shù)的方法為計(jì)算其因數(shù)的個(gè)數(shù)。所有的合數(shù)都至少有三個(gè)因數(shù)。一質(zhì)數(shù)的平方數(shù)，其因數(shù)有。一數(shù)若有著比它小的整數(shù)都還多的因數(shù)，則稱(chēng)此數(shù)為高合成數(shù)。另外，完全平方數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，而其他的合數(shù)則皆為偶數(shù)個(gè)。

合數(shù)可分為奇合數(shù)和偶合數(shù)，也能基本合數(shù)（能被2或3整除的），分陰性合數(shù)（6N-1）和陽(yáng)性合數(shù)（6N+1），還能分雙因子合數(shù)和多因子合數(shù)。

相關(guān)

只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的自然數(shù)，叫質(zhì)數(shù)（或稱(chēng)素?cái)?shù)）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因數(shù)只有1和它本身2這兩個(gè)因數(shù)，所以2就是質(zhì)數(shù)。與之相對(duì)立的是合數(shù)：“除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)外，還有其它因數(shù)的數(shù)，叫合數(shù)?！比纾?÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很顯然，4的因數(shù)除了1和它本身4這兩個(gè)因數(shù)以外，還有因數(shù)2，所以4是合數(shù)。）

100以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，一共有25個(gè)。

質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的。歐幾里得的《幾何原本》中的證明使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個(gè)，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設(shè)N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素?cái)?shù)或者不是素?cái)?shù)。

如果N+1為素?cái)?shù)，則N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。

如果N+1為合數(shù)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)合數(shù)都可以分解為幾個(gè)素?cái)?shù)的積；而N和N+1的最大公約數(shù)是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。

因此無(wú)論該數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，都意味著在假設(shè)的有限個(gè)素?cái)?shù)之外還存在著其他素?cái)?shù)。所以原先的假設(shè)不成立。也就是說(shuō)，素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。

其他數(shù)學(xué)家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數(shù)證明了全部素?cái)?shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的，恩斯特·庫(kù)默的證明更為簡(jiǎn)潔，Hillel?Furstenberg則用拓?fù)鋵W(xué)加以證明。

任何一個(gè)大于1的自然數(shù)N，都可以唯一分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，這里P1<P2<…<Pn是質(zhì)數(shù)，其諸方冪ai是正整數(shù)。

這樣的分解稱(chēng)為N的標(biāo)準(zhǔn)分解式。

算術(shù)基本定理的內(nèi)容由兩部分構(gòu)成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考慮排列的順序，正整數(shù)分解為素?cái)?shù)乘積的方式是唯一的）。

算術(shù)基本定理是初等數(shù)論中一個(gè)基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)。

此定理可推廣至更一般的交換代數(shù)和代數(shù)數(shù)論。高斯證明復(fù)整數(shù)環(huán)Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導(dǎo)了諸如唯一分解整環(huán)，歐幾里得整環(huán)等等概念，更一般的還有戴德金理想分解定理。

上下素性判定法

命題?1對(duì)于B=36N+1?形數(shù)而言。

若不定方程（3N）^2+N-（B-1）/36=W^2?有整數(shù)解，

則?6（3N-W）+1?是小因子數(shù)；6（3N+W）+1?是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N）^2-N-（B-1）/36=W^2?有整數(shù)解，

則?6（3N-W）-1?是小因子數(shù)；6（3N+W）-1?是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

命題?2對(duì)于B=36N+7?形數(shù)而言。

若不定方?（3N）^2+4N-（B-7）/36=W^2+W?有整數(shù)解，

則?6（3N-W）+1?是小因子數(shù)，6（3N+W+1）+1?是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N+2）^2+2N+2-（B+29）/36=W^2+W?有整數(shù)解，

則?6（3N+2-W）-1?是小因子數(shù)，6（3N+W+3）-1?是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

命題?3對(duì)于B=36N+13?形數(shù)而言。

若不定方程?（3N+1）^2+N-（B-13）/36=W^2?有整數(shù)解，

則?6（3N+1-W）+1?是小因子數(shù)，6（3N+1+W）+1是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N+2）^2-N-（B+23）/36=W2?有整數(shù)解，

則?6（3N+2-W）-1?是小因子數(shù)，6（3N+2+W）-1是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

命題?4對(duì)于B=36N+19?形數(shù)而言。

若不定方程（3N+1）^2+4N+1-（B-19）/36=W^2?+W?有整數(shù)解，

則?6（3N+1-W）+1?是小因子數(shù)；6（3N+2+W）+1?是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N+1）^2+2N+1-（B+17）/36=W^2?+W?有整數(shù)解，

則?6（3N+1-W）-1?是小因子數(shù)；6（3N+2+W）-1?是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

命題?5對(duì)于B=36N+25?形數(shù)而言。

若不定方?（3N+2）^2+N-（B-25）/36=W^2有整數(shù)解，

則?6（3N+2-W）+1?是小因子數(shù)，6（3N+2+W）+1?是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N+1）^2-N-（B+11）/36=W^2有整數(shù)解，

則?6（3N+1-W）-1?是小因子數(shù)，6（3N+1+W）-1?是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

命題?6對(duì)于B=36N+31?形數(shù)而言。

若不定方程?（3N+2）^2+4N+2-（B-31）/36=W^2?+W?有整數(shù)解，

則?6（3N+2-W）+1?是小因子數(shù)，6（3N+3+W）+1是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N+1）^2-4N-1-（B+5）/36=W^2+W有整數(shù)解，

則?6（3N-W）-1?是小因子數(shù)，6（3N+1+W）-1是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

命題?7對(duì)于B=36N-1?形數(shù)而言。

若不定方程（3N）^2-N+（B+1）/36=W^2?有整數(shù)解，

則?6（3N-W）+1?是小因子數(shù)；6（3N+W）-1?是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N）^2+N+（B+1）/36=W^2?有整數(shù)解，

則?6（W-3N）-1?是小因子數(shù)；6（W+3N）+1?是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

命題?8對(duì)于B=36N+5?形數(shù)而言。

若不定方?（3N）^2+2N+（B-5）/36=W^2+W?有整數(shù)解，

則?6（W-3N）+1?是小因子數(shù)，6（W+3N+1）-1?是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N+2）^2+4N+2+（B+31）/36=W^2+W?有整數(shù)解，

則?6（W-3N-2）-1?是小因子數(shù)，6（W+3N+3）+1?是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

命題?9對(duì)于B=36N+11?形數(shù)而言。

若不定方程?（3N+1）^2-N+（B-11）/36=W^2?有整數(shù)解，

則?6（W-3N-1）+1?是小因子數(shù)，6（W+3N+1）-1是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N+2）^2+N+ - B+25）/36=W2?有整數(shù)解，

則?6 - W-3N-2）-1?是小因子數(shù)，6（W+3N+2）+1是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

命題?10對(duì)于B=36N+17?形數(shù)而言。

若不定方程（3N+1）^2+2N+1+（B-17）/36=W^2?+W?有整數(shù)解，

則?6（W-3N-1）+1?是小因子數(shù)；6（W+3N+2）-1?是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N+1）^2+4N+1+（B+19）/36=W^2?+W?有整數(shù)解，

則?6（W-3N-1）-1?是小因子數(shù)；6（W+3N+2）+1?是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

命題?11對(duì)于B=36N+23?形數(shù)而言。

若不定方?（3N+2）^2-N+（B-23）/36=W^2有整數(shù)解，

則?6（W-3N-2）+1?是小因子數(shù)，6（W+3N+2）+1?是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N+1）^2+N+（B+13）/36=W^2有整數(shù)解，

則?6（W-3N-1）-1?是小因子數(shù)，6（W+3N+1）+1?是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

命題?12對(duì)于B=36N+29?形數(shù)而言。

若不定方程?（3N+2）^2+2N+2+（B-29）/36=W^2?+W?有整數(shù)解，

則?6（W-3N-2）+1?是小因子數(shù)，6（W+3N+3）-1是大因子數(shù)。

若不定方程?（3N）^2-4N+（B+7）/36=W^2+W有整數(shù)解，

則?6（W-3N）-1?是小因子數(shù)，6（W+3N+1）+1是大因子數(shù)。

兩式都無(wú)解，是素?cái)?shù)。

關(guān)于哥德巴赫猜想 - Su?Bin:設(shè)（2+Na）* - 2+Nb=x經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得 - x-4^2=3 - Na+Nb^2+2NaNb - x-1

所以x≥4,且x≠5.所以x≥6.

左邊為合數(shù)，右邊是兩個(gè)數(shù)的和。