又稱高級(jí)微積分，分析學(xué)中最古老、最基本的分支。

??“數(shù)學(xué)分析”是一門超大規(guī)模的課程，又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)課程，內(nèi)容涵蓋實(shí)數(shù)理論、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)、多元函數(shù)微分、含參量積分、曲線曲面積分、重積分等眾多內(nèi)容.

一般指以微積分學(xué)和無(wú)窮級(jí)數(shù)一般理論為主要內(nèi)容，并包括它們的理論基礎(chǔ)（實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基本理論）的一個(gè)較為完整的數(shù)學(xué)學(xué)科。它也是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程。數(shù)學(xué)中的分析分支是專門研究實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)及其函數(shù)的數(shù)學(xué)分支。它的發(fā)展由微積分開始，并擴(kuò)展到函數(shù)的連續(xù)性、可微分及可積分等各種特性。這些特性，有助我們應(yīng)用在對(duì)物理世界的研究，研究及發(fā)現(xiàn)自然界的規(guī)律。

數(shù)學(xué)分析 - 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分支

簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容是微積分學(xué)，微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)是極限理論，極限理論的理論基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)理論。微積分學(xué)是微分學(xué) - Differential?Calculus和積分學(xué) - Integral?Calculus的統(tǒng)稱，英語(yǔ)簡(jiǎn)稱Calculus，意為計(jì)算，這是因?yàn)樵缙谖⒎e分主要用于天文、力學(xué)、幾何中的計(jì)算問(wèn)題。后來(lái)人們也將微積分學(xué)稱為分析學(xué)（Analysis，或稱無(wú)窮小分析，專指運(yùn)用無(wú)窮小或無(wú)窮大等極限過(guò)程分析處理計(jì)算問(wèn)題的學(xué)問(wèn)。

早期的微積分，已經(jīng)被數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家用來(lái)解決了大量的實(shí)際問(wèn)題，但是由于無(wú)法對(duì)無(wú)窮小概念作出令人信服的解釋，在很長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)得不到發(fā)展，有很多數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)理論持懷疑態(tài)度，柯西（Cauchy）和后來(lái)的魏爾斯特拉斯（weierstrass）完善了作為理論基礎(chǔ)的極限理論，擺脫了“要多小有多小”、“無(wú)限趨向”等對(duì)模糊性的極限描述，使用精密的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述極限的定義，使微積分逐漸演變?yōu)檫壿媷?yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科，被稱為“Mathematical?Analysis”，中文譯作“數(shù)學(xué)分析”。

實(shí)數(shù)系最重要的特征是連續(xù)性，有了實(shí)數(shù)的連續(xù)性，才能討論極限，連續(xù)，微分和積分。正是在討論函數(shù)的各種極限運(yùn)算的合法性的過(guò)程中，人們逐漸建立起了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分析理論體系。

發(fā)展歷史

早期發(fā)展

在古希臘數(shù)學(xué)的早期，數(shù)學(xué)分析的結(jié)果是隱含給出的。比如，芝諾的兩分法悖論就隱含了幾何級(jí)數(shù)的和。再后來(lái)，古希臘數(shù)學(xué)家如歐多克索斯和阿基米德使數(shù)學(xué)分析變得更加明確，但還不是很正式。他們?cè)谑褂酶F竭法去計(jì)算區(qū)域和固體的面積和體積時(shí)，使用了極限和收斂的概念。在古印度數(shù)學(xué)的早期，12世紀(jì)的數(shù)學(xué)家婆什迦羅第二給出了導(dǎo)數(shù)的例子。

早期創(chuàng)立

數(shù)學(xué)分析的創(chuàng)立始于17世紀(jì)以牛頓（Newton，I.）和萊布尼茨（Leibniz，G.W）為代表的開創(chuàng)性工作，而完成于19世紀(jì)以柯西（Cauchy）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）為代表的奠基性工作。從牛頓開始就將微積分學(xué)及其有關(guān)內(nèi)容稱為分析。其后，微積分學(xué)領(lǐng)域不斷擴(kuò)大，但許多數(shù)學(xué)家還是沿用這一名稱。時(shí)至今日，許多內(nèi)容雖已從微積分學(xué)中分離出去，成了獨(dú)立的學(xué)科，而人們?nèi)砸苑治鼋y(tǒng)稱之。數(shù)學(xué)分析亦簡(jiǎn)稱分析。

研究對(duì)象

數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象是函數(shù)，它從局部和整體這兩個(gè)方面研究函數(shù)的基本形態(tài)，從而形成微分學(xué)和積分學(xué)的基本內(nèi)容。微分學(xué)研究變化率等函數(shù)的局部特征，導(dǎo)數(shù)和微分是它的主要概念，求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程就是微分法。圍繞著導(dǎo)數(shù)與微分的性質(zhì)、計(jì)算和直接應(yīng)用，形成微分學(xué)的主要內(nèi)容。積分學(xué)則從總體上研究微小變化（尤其是非均勻變化）積累的總效果，其基本概念是原函數(shù)（反導(dǎo)數(shù)）和定積分，求積分的過(guò)程就是積分法。積分的性質(zhì)、計(jì)算、推廣與直接應(yīng)用構(gòu)成積分學(xué)的全部?jī)?nèi)容。牛頓和萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)的杰出貢獻(xiàn)就在于，他們?cè)?670年左右，總結(jié)了求導(dǎo)數(shù)與求積分的一系列基本法則，發(fā)現(xiàn)了求導(dǎo)數(shù)與求積分是兩種互逆的運(yùn)算，并通過(guò)后來(lái)以他們的名字命名的著名公式—牛頓-萊布尼茨公式—反映了這種互逆關(guān)系，從而使本來(lái)各自獨(dú)立發(fā)展的微分學(xué)和積分學(xué)結(jié)合而成一門新的學(xué)科—微積分學(xué)。又由于他們及一些后繼學(xué)者（特別是歐拉（Euler））的貢獻(xiàn)，使得本來(lái)僅為少數(shù)數(shù)學(xué)家所了解，只能相當(dāng)艱難地處理一些個(gè)別具體問(wèn)題的微分與積分方法，成為一種常人稍加訓(xùn)練即可掌握的近于機(jī)械的方法，打開了把它廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的大門，其影響所及，難以估量。因此，微積分的出現(xiàn)與發(fā)展被認(rèn)為是人類文明史上劃時(shí)代的事件之一。與積分相比，無(wú)窮級(jí)數(shù)也是微小量的疊加與積累，只不過(guò)取離散的形式（積分是連續(xù)的形式）。因此，在數(shù)學(xué)分析中，無(wú)窮級(jí)數(shù)與微積分從來(lái)都是密不可分和相輔相成的。在歷史上，無(wú)窮級(jí)數(shù)的使用由來(lái)已久，但只在成為數(shù)學(xué)分析的一部分后，才得到真正的發(fā)展和廣泛應(yīng)用。

基本方法

數(shù)學(xué)分析的基本方法是極限的方法，或者說(shuō)是無(wú)窮小分析。洛比達(dá)（L’Hospital）于1696年在巴黎出版的世界上第一本微積分教科書，歐拉于1748年出版的兩卷本溝通微積分與初等分析的書，書名中都出現(xiàn)過(guò)無(wú)窮小分析這個(gè)詞。在微積分學(xué)發(fā)展的初期，這種新的方法顯示出巨大的力量，因而得到大批重要的成果。許多與微積分有關(guān)的新的數(shù)學(xué)分支，如變分法、微分方程以至于微分幾何和復(fù)變函數(shù)論，都在18—19世紀(jì)初發(fā)展起來(lái)。然而，初期的分析還是比較粗糙的，被新方法的力量鼓舞的數(shù)學(xué)家們經(jīng)常不顧演繹的邏輯根據(jù)，使用著直觀的猜測(cè)和自相矛盾的推理，以致在整個(gè)18世紀(jì)，對(duì)這種方法的合理性普遍存在著懷疑。這些懷疑在很大程度上是從當(dāng)時(shí)經(jīng)常使用的無(wú)窮小的含義與用法上引起的。隨意使用與解釋無(wú)窮小導(dǎo)致了混亂和神秘感。許多人參與了無(wú)窮小本質(zhì)的論爭(zhēng)，其中有些人，如拉格朗日（Lagrange），試圖排除無(wú)窮小與極限，把微積分代數(shù)化。論爭(zhēng)使函數(shù)與極限的概念逐漸明朗化。越來(lái)越多的的數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到，必須把數(shù)學(xué)分析的概念與其在客觀世界的原型以及人的直覺區(qū)分開來(lái)。

因而，從19世紀(jì)初開始了一個(gè)一個(gè)把分析算術(shù)化（使分析成為一種像算術(shù)那樣的演繹系統(tǒng)）為特征的新的數(shù)學(xué)分析的批判改造時(shí)期?？挛饔?821年出版的《分析教程》是分析嚴(yán)密化的一個(gè)標(biāo)志。在這本書中，柯西建立了接近現(xiàn)代形式的極限，把無(wú)窮小定義為趨于零的變量，從而結(jié)束了百年的爭(zhēng)論。在極限的基礎(chǔ)上，柯西定義了函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、連續(xù)函數(shù)的積分和級(jí)數(shù)的收斂性（后來(lái)知道，波爾查諾（Bolzano）同時(shí)也做過(guò)類似的工作）。進(jìn)一步，狄利克雷于（Dirichlet）1837年提出了函數(shù)的嚴(yán)格定義，魏爾斯特拉斯引進(jìn)了極限的ε-δ定義?；旧蠈?shí)現(xiàn)了分析的算術(shù)化，使分析從幾何直觀的局限中得到了“解放”，從而驅(qū)散了17—18世紀(jì)籠罩在微積分外面的神秘云霧。

繼而在此基礎(chǔ)上，黎曼（Riemann）于1854年和達(dá)布（Darboux）于1875年對(duì)有界函數(shù)建立了嚴(yán)密的積分理論，19世紀(jì)后半葉，戴德金（Dedekind）等人完成了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論。至此，數(shù)學(xué)分析的理論和方法完全建立在牢固的基礎(chǔ)之上，基本上形成了一個(gè)完整的體系，也為20世紀(jì)現(xiàn)代分析的發(fā)展鋪平了道路。