拐點(diǎn)，又稱反曲點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上指改變曲線向上或向下方向的點(diǎn)，直觀地說拐點(diǎn)是使切線穿越曲線的點(diǎn) - 即曲線的凹凸分界點(diǎn)。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域是指，凸曲線與凹曲線的連接點(diǎn)。一般的，設(shè)y=f - x）在區(qū)間I上連續(xù)，x0是I的內(nèi)點(diǎn)（除端點(diǎn)外的I內(nèi)的點(diǎn)）。如果曲線y=f - x）在經(jīng)過點(diǎn)（x0,f - x0））時(shí)，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點(diǎn)（x0,f - x0））為這曲線的拐點(diǎn)。

基本定義

拐點(diǎn)在數(shù)學(xué)上指改變曲線向上或向下方向的點(diǎn)，直觀地說拐點(diǎn)是使切線穿越曲線的點(diǎn)。若該曲線圖形的函數(shù)在拐點(diǎn)有二次導(dǎo)數(shù)，則二次導(dǎo)數(shù)必為零或不存在。

在生活中借指事物的發(fā)展趨勢(shì)開始改變的地方（例如：經(jīng)濟(jì)運(yùn)行出現(xiàn)回升拐點(diǎn)）

數(shù)學(xué)含義

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域是指，凸曲線與凹曲線的連接點(diǎn)。

拐點(diǎn)定義（根據(jù)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)6版上冊(cè)第151頁）

一般的，設(shè)y=f - x）在區(qū)間I上連續(xù)，x0是I的內(nèi)點(diǎn)（除端點(diǎn)外的I內(nèi)的點(diǎn)）。如果曲線y=f - x）在經(jīng)過點(diǎn)（x0,f - x0））時(shí)，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點(diǎn)（x0,f - x0））為這曲線的拐點(diǎn)。

拐點(diǎn)的必要條件：設(shè)f - x）在（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo)，x0∈（a,b），若（x0,f - x0））是曲線y=f - x）的一個(gè)拐點(diǎn)，則f‘’（x0=0。

拐點(diǎn)的充分條件：設(shè)f - x）在（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo)，x0∈（a,b），則f‘’（x0=0，若在x0兩側(cè)附近f‘’（x0）異號(hào)，則點(diǎn)（x0,f - x0））為曲線的拐點(diǎn)。否則（即f‘’（x0）保持同號(hào)，（x0,f - x0））不是拐點(diǎn)。

當(dāng)函數(shù)圖像上的某點(diǎn)使函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，且三階導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，這點(diǎn)即為函數(shù)的拐點(diǎn)。

若函數(shù)y=f - x）在c點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)c一側(cè)是凸，另一側(cè)是凹，則稱c是函數(shù)y=f - x）的拐點(diǎn)。另外，如果c是拐點(diǎn)，必然有f'' - c=0或者f'' - c）不存在；反之則不成立；比如，f - x=x^4，有f'' - 0=0，但是0兩側(cè)全是凸，所以0不是函數(shù)f - x=x^4的拐點(diǎn)。

拐點(diǎn)的求法

（摘錄自高等數(shù)學(xué)同濟(jì)5版上冊(cè)第149頁）

可以按下列步驟來判斷區(qū)間I上的連續(xù)曲線y=f - x）的拐點(diǎn)：

⑴求f'' - x）；

⑵令f'' - x=0，解出此方程在區(qū)間I內(nèi)的實(shí)根，并求出在區(qū)間I內(nèi)f'' - x）不存在的點(diǎn)；

⑶對(duì)于⑵中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x0，檢查f'' - x）在x0左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)（x0,f - x0））是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)（x0,f - x0））不是拐點(diǎn)。

例如，y=x^3,y'=3x^2,y''=6x，解出x=0時(shí)，y'=0,y''=0：y在（負(fù)無窮大，0）上為增函數(shù)，y''<0，函數(shù)曲線為凸函數(shù)；y在（0，正無窮大）上為增函數(shù)，函數(shù)y''>0，函數(shù)曲線為凹函數(shù)。但y全區(qū)間函數(shù)為增函數(shù)，拐點(diǎn)在這里說明的只是函數(shù)曲線凹凸分界點(diǎn)。