二階導(dǎo)數(shù) - 數(shù)學(xué)名詞
二階導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。從原理上看,它表示一階導(dǎo)數(shù)的變化率;從圖形上看,它反映的是函數(shù)圖像的凹凸性。

定義
以導(dǎo)數(shù)定義法定義:如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處可導(dǎo),則稱的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù),記為。
以極限定義法定義:函數(shù)在xo處的二階導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在xo處的導(dǎo)數(shù),即
物理意義
以物理運(yùn)動(dòng)為例,我們知道,變速直線運(yùn)動(dòng)的速度是位置函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),即
這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)或稱為對(duì)的二階導(dǎo)數(shù),記作
所以,直線運(yùn)動(dòng)的加速度就是位置函數(shù)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。
幾何意義
切線斜率變化率
據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,二階導(dǎo)數(shù)按極限形式
可直接理解為曲線的切線斜率的變化率,也就是切線斜率的平均變化率。
凹率
凹率可以認(rèn)為是二階導(dǎo)數(shù)的幾何本質(zhì)。
據(jù)曲線的凹凸性,時(shí),曲線在a點(diǎn)上凹;時(shí),曲線在a點(diǎn)下凹。
如果規(guī)定曲線在a點(diǎn)上凹為正,下凹為負(fù)(以下均如此設(shè)定),則凹向的正負(fù)就與的正負(fù)一致,的正負(fù)就表示曲線在a點(diǎn)上凹的正負(fù)。
拋物線的凹率與焦準(zhǔn)距
對(duì)于拋物線
其導(dǎo)函數(shù)為:
則二階導(dǎo)數(shù)為,稱2a為整個(gè)拋物線的凹率。
拋物線經(jīng)平移可得原點(diǎn)為頂點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)拋物線,參數(shù)a不變,標(biāo)準(zhǔn)拋物線方程,其中p為焦準(zhǔn)距,定義焦準(zhǔn)距為焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的縱坐標(biāo)差,則拋物線的焦準(zhǔn)距。
例題
設(shè),求和。
解:用導(dǎo)數(shù)定義求解:
